Funciones de parte entera

En matemática, las funciones de parte entera son funciones que toman un número real y devuelven un número entero más próximo, sea por exceso o por defecto. Formalmente son funciones de la forma:

Según la forma de considerar el número entero más próximo a un número real dado, se pueden considerar varias funciones:

Un concepto relacionado con estas funciones es la parte fraccionaria, cuya representación es la de una onda de sierra.

Función techo

La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero y no inferior a x:

Definida:

O de otra forma:

Propiedades

Ejemplos

Para un número real no entero:

Para un número entero:

Función piso/suelo/parte entera

La función piso se aplica a un número real x y devuelve el máximo número entero y no superior a x:

que se define:

Se conoce también como función máximo entero[1]

Que se puede expresar:

Propiedades

El número real x al que se aplica la función piso es un número entero si y sólo si la función piso de x tiene el mismo valor que x.

Podemos deducir que si m y n son numeros enteros estrictamentes positivos coprimos entonces (formula de Sylvester)

.

la formula anterior puede ser generalizada para todo m y n enteros estrictamentes positivos :[2]

.

Ejemplos

Para un número real no entero:

Para un número entero:

Implementación informática

La función parte entera en el lenguaje de programación C es el resultado de truncar el valor real, eliminando su parte decimal. Se puede definir a partir de las funciones piso[3] y techo,[4] de la siguiente manera:

definida de esta forma:

Se utiliza mediante el operador (int) para truncar el valor de variables del tipo float o double.

Función redondeo

La función redondeo asigna a cada x número real un y número entero siendo y el valor más próximo a x.

si la primera cifra decimal es 5 o mayor el redondeo se hace por exceso, si la primera cifra decimal es inferior a 5 el redondeo se hace por defecto.

Se puede comprobar la siguiente igualdad:

Series de expansión

La función piso no es continua, y por lo tanto no tiene un expansión en serie de Taylor; como no es periódica, tampoco tiene una expansión en serie de Fourier. Sin embargo, la función , llamada función de parte decimal, fraccionaria o función mantisa, es periódica,[5] y por lo tanto tiene una expansión en serie de Fourier, que es:

Usando la expresión podemos saber la expansión de la función :

Teniendo en cuenta que: , entonces la expansión de serie de la función techo sería:

Y por último, para la función truncamiento, se utiliza la siguiente expresión ; entonces quedaría:

Véase también

Notas y Referencias

  1. Niven- Zuckerman: Introducción a la teoría de números ISBN 968-18-0669-7 pág. 87
  2. J.E.blazek, Combinatoire de N-modules de Catalan, tesis de maestria, page 17.
  3. «C++ reference of floor function». Consultado el 24 de abril de 2011.
  4. «C++ reference of ceil function». Consultado el 24 de abril de 2011.
  5. Venero: Análisis matemático, Lima (1995)

Enlaces externos

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